1. 서 론
해양 석유자원 생산용 해양구조물은 운영되는 동안 파랑, 조류 등 다양한 동적 하중에 노출된다. 이러한 하중들로 인해 발생하는 구조물의 응력, 장력 등의 응답들을 주파수 영역의 스펙트럼으로 나타내면, 두 개 이상의 주파수 성분으로 구성된 다봉형 스펙트럼이 된다. 특히, 라이저의 와류유기진동, 인장각식 구조물(Tension leg platform)의 스프링잉과 같은 고주파수 응답특성은 구조물의 응답스펙트럼을 광대역으로 만든다. 동적 하중에 의해 발생하는 구조물의 피로손상도를 비교적 빠르게 계산하기 위해서는 구조물의 응답 스펙트럼과 피로손상모델을 사용하여 통계학적 피로 분석법을 사용한다(DNV, 2010b). 이 방법을 통상 주파수 영역 피로해석이라 부르며, 정확한 주파수 영역 피로해석을 위해서는 해당 구조물의 응답 특성에 적절한 통계모델을 사용해야 한다. 통상적으로 사용되는 피로손상모델들은 단일 피크나 연속형 스펙트럼에는 적절하나, 고주파수를 포함한 다봉형 응답 특성을 보이는 해양구조물에 대한 피로손상평가에는 적합하지 않은 면이 있다(Kim et al., 2016). 그러므로 고주파수, 다봉형 응답 특성을 갖는 구조물의 피로손상도를 평가하는 통계적 모델의 개발이 필요하다.
광대역 스펙트럼의 피로손상도 계산에 적절한 피로손상모델 개발법에는 대표적으로 두 가지가 있다. 첫 번째 방법은 확률밀도조합법으로, 응답의 시계열에 레인플로우집계법(Matsuishi and Endo, 1968)을 사용하여 집계한 응력 범의의 확률밀도분포를 여러 종류의 함수를 사용하여 유도하는 방법이다. 대표적인 확률밀도함수조합법에는 광대역 및 협대역 스펙트럼을 대상으로 개발된 Dirlik모델(Dirlik, 1985), 이봉형 스펙트럼의 피로손상 계산에 사용되는 Zhao-Baker 모델(Zhao and Baker, 1992), 그리고 삼봉형 스펙트럼을 대상으로 개발된 Park et al. 모델(Park et al., 2014)이 있다. 또 다른 방법인 수정계수법은 협대역 스펙트럼의 피로손상도를 결정하는 Rayleigh 방법에 수정계수를 곱하여 광대역 스펙트럼의 피로손상도를 평가하는 방법이다. 수정계수법을 사용하여 개발된 대표적인 모델에는 이봉형 스펙트럼을 대상으로 개발한 Jiao-Moan 모델(Jiao and Moan, 1990), 협대역 및 광대역 스펙트럼에 적합한 Benasciutti-Tovo 모델(Benasciutti and Tovo, 2005), Wirsching and Light 모델(Wirsching and Light, 1980) 등이 있다.
수정계수법을 이용하여 새로운 피로손상모델을 유도할 때에는 스펙트럼으로부터 대표피로손상도를 계산하는 과정이 필요하며, 선행연구들(Dirlik, 1985; Park et al., 2011)에서 제안된 바 있다. 그러나 기존의 방법은 정확도 높은 피로손상도 계산을 위해 많은 반복 계산이 수행되어 와류유기진동, 스프링잉과 같은 해양구조물의 고주파수 응답까지 포함하게 되면 상대적으로 많은 시간이 소요된다. 따라서 해양구조물 전용 피로손상모델을 개발하는 경우, 기존의 계산 과정보다 계산속도가 빠르면서도 높은 정확도를 유지하는 새로운 스펙트럼 대표피로손상도 계산방법이 필요하다.
본 연구에서는 기존 방법에서 사용된 변수들을 최적화하기 위해 매개변수 연구를 수행하였다. 최적화 연구를 위해서 실제 해양구조물의 다봉형 응답을 묘사한 다양한 종류의 이봉형 스펙트럼을 생성하였으며, 생성된 스펙트럼들의 대표피로손상도는 시간영역 피로손상도계산법을 사용하여 계산하였다. 최적화 대상 변수는 스펙트럼으로부터 대표피로손상도를 계산하는 과정에서 소요되는 시간에 관련된 변수 3개를 선정하였다. 선정된 변수마다 기준값을 정의하고 이 값을 사용하여 계산된 피로손상도와 변화된 변숫값을 사용하여 계산된 피로손상도를 비교하여 오차정도를 확인하며 변수의 최적화값을 결정하였다. 연구결과를 검증하기 위해, 실제 스펙트럼의 피로손상도를 제안된 변숫값과 기존의 방법을 사용하여 계산된 피로손상도와 비교하였다.
2. 연구 방법론
2.1 개요
연구에 사용된 이상화된 스펙트럼들은 총 162개로, 스펙트럼을 구성하는 세부 변수들을 조절하여 생성되었으며, 스펙트럼들의 대표피로손상도는 시간영역 피로손상도계산법을 사용하여 계산하였다. 시간영역 피로손상도계산법은 우선, 푸리에 역변환(Inverse fourier transform)을 사용하여 스펙트럼으로부터 시계열을 반복 생성한 뒤, 생성된 시계열에 레인플로우집계법을 적용하여 응력범위와 빈도수를 결정하고, 집계된 응력의 빈도수와 최대 파단 빈도수의 비를 집계된 모든 응력에 대해 계산하여 더하는 선형 누적법(Miner, 1945)을 사용하여 스펙트럼의 피로손상도를 계산하였다.
최적화 대상 매개변수는 푸리에 역변환에 사용되는 시간 증분(dt) 비율, 주파수 증분(dw), 그리고 시계열의 생성 반복 횟수(R)가 있으며, 먼저 최적화된 의 값을 결정한 뒤 dw과 dt비율을 최적화였다. 변수의 최적화 값은 각 변수의 기준값을 일정 간격으로 증가시키거나 감소시켜 계산된 피로손상도와 기준값을 사용하여 계산된 피로손상도를 비교하여 변수변화에 따른 오차율을 확인한 뒤 결정하였으며, 기준값은 선행연구를 참고하여 결정하였다.
최적화된 변수들을 검증하기 위해서 선행연구(Park et al., 2011)에서 제안한 방법과 비교하였다. 이를 위해 실제 부유식저장설비(FSU, Floating storage unit)와 계류시스템의 연성 해석을 통해 얻은 계류라인의 장력 스펙트럼에 두 방법을 사용하여 피로손상도를 계산 비교하였다.
이상에서 설명한 본 연구의 진행순서는 Fig. 1에 나타내었다.
2.2 푸리에 역변환
여기서 X(t)는 푸리에 역변환으로 생성되는 시계열, n은 주파수 성분의 개수, 그리고 S ( ω ¯ i ) ω ¯ i
2.3 변수의 기준값
선정된 변수를 최적화하기 위해서는 기존의 연구에서 제시되었던 변숫값들을 기준값으로 정의하고, 기준값의 크기 변화가 피로손상도에 미치는 민감도를 확인해야 한다. 이 민감도 해석결과를 토대로 계산시간을 줄이도록 최적화를 수행하였다.
dw의 크기는 스펙트럼으로부터 생성되는 시계열의 에너지손실 정도에 영향을 주는데, 그 크기가 과도하게 크면 에너지 손실이 발생할 수 있으며, 너무 작은 값을 사용하면 스펙트럼으로부터 시계열을 생성하는 과정에서 시간이 과도하게 소모되므로 적절한 값을 선택하여야 한다. 앙상블 시간 동안 생성되는 시계열은 불규칙 시계열이 되어야 하며, 이를 만족시키기 위해서는 식 (4)의 최대 조건을 만족하는 주파수 증분의 크기를 사용해야한다.
dt는 생성되는 시계열의 조밀도를 결정하는 변수이다. 레인플로우집계법을 사용하여 피로해석을 수행할 때 시계열의 피크(Peak)와 밸리(Valley)값의 정확도에 따라 계산되는 피로손상도가 다르다. 그러므로 dt의 정확도는 피로해석관점에서 중요하며, 선행 연구에서는 피크와 밸리 사이에 최소 3개의 점이(Dirlik, 1985) 있어야 함을 제시하였다. 또 다른 선행연구에서는(Park et al, 2011) 식 (5)와 같이 dt의 비율을 최소 0.08로 사용할 것을 제시하였다.
2.4 통계적 특성치
가우시안(Gaussian)과정에서 주파수 영역에서 스펙트럼의 통계적 특성치 계산을 위해서는 스펙트럼밀도의 스펙트럼의 분포 정도를 나타내는 스펙트럼 모멘트 계산이 필요하며, 식 (6)과 같이 정의된다.
여기서 mk는 k차 스펙트럴 모멘트, ω는 주파수성분, 그리고 S(ω)는 스펙트럼밀도이다.
가우시안과정에서 단위 시간당 피크의 빈도수인 피크주파수(Peak frequency) vp와 단위 시간당 영점 교차의 빈도수인 영점상교차주파수(Zero up-crossing frequency) 는 주파수 영역과 시간영역에서 각각 식 (7), 식 (8)과 같이 정의되며, 이는 4.2절에서 스펙트럼과 생성되는 시계열의 통계적 특성을 비교하는데 사용된다(Newland, 1993).
여기서 σ x , σ X ˙ , σ X ¨ X ˙ , X ¨
3. 이봉형 스펙트럼 및 대표피로손상도
3.1 스펙트럼 및 스펙트럼 변수
본 연구에서는 삼각뿔 2개로 이루어진 이봉형 스펙트럼을 사용하였으며, 삼각뿔 형태는 타원을 횡, 종축으로 4등분하고 조각 하나를 좌우대칭으로 배치하여 생성하였다. 스펙트럼의 형상은 Fig. 2와 같으며, 스펙트럼밀도(Spectral density)는 식 (9), 식 (10)과 같이 정의된다.
여기서 A와 B는 각 삼각뿔 피크를 구성하는 타원 조각의 횡축, 종축 반지름을 뜻하며, S와 E는 각 피크의 시작 주파수와 끝 주파수를 의미한다. 아래 첨자는 피크의 번호를 의미하고 고려된 스펙트럼의 면적은 무차원이 되도록 변수들의 단위계를 설정하였다.
각 피크들의 위치는 해양구조물 응답의 현실적인 주파수 범위를 고려하였는데, 계류라인의 저주파수 운동은 통상적으로 최소 0.05rad/s이며 라이저 와류유기진동의 횡방향 진동으로 인한 운동 응답의 최대 주파수 범위는 9rad/s이다(Kim et al., 2016). 사용된 변값은 Table 1에 정리하였으며, 고려된 각 변수의 조합을 사용하여 총 162개의 이봉형 스펙트럼을 생성하였다.
3.2 스펙트럼의 대표피로손상도
스펙트럼의 피로손상도는 2.2절에서 언급한 식 (1)-(3) 푸리에 역변환을 통해 얻은 시계열에 레인플로우 집계법과 선형 누적법을 통해 계산한다. 시계열의 레인플로우 집계법의 결과로부터 피로손상도를 계산하기 위해서 식 (11), 식 (12)의 선형 누적법이 사용된다.
여기서 D는 피로손상도, Si는 집계된 i번째 응력범위, Ni은 해당 응력범위에 대한 재료의 최대 사이클 횟수, 그리고 ni는 해당 응력범위에 집계된 사이클 횟수를 의미한다. 그리고 a ¯
그러나 시계열을 반복적으로 생성해 피로손상도를 계산할 시 dω, dt의 크기와는 무관하게, 사용된 무작위 위상각에 따라 생성되는 시계열의 형상이 달라지기 때문에 계산되는 피로손상도 값들은 달라진다. 그러므로 일정 횟수만큼 시계열을 생성하고 피로손상도를 계산한 뒤 횟수만큼 평균값을 취해야 스펙트럼을 대표할 수 있는 피로손상도를 결정할 수 있다. 그래서 기존 연구에서 제안한 스펙트럼의 대표피로손상도 계산 방법(Park et al., 2011)은 스펙트럼으로부터 3시간 시계열을 무작위 위상각 세트와 dω을 바꿔가며 총 20번을 생성하여 1 Block으로 정의하였다. 그리고 총 10 Block을 계산하여 10 Block의 평균값을 대표피로손상도로 정의하였다. 그러나 이 방법은 Block의 사이즈가 크고 반복 횟수가 많기 때문에 스펙트럼의 피로손상도 계산에 많은 시간이 소모된다. 본 연구에서 제안하는 방법은 식 (13)과 같이 1 Block을 3시간으로 정의하였으며, 무작위 위상각 세트를 바꿔가며 Block을 반복적으로 생성하였다.
여기서 DR은 R번 반복 생성된 시계열의 평균 피로손상도, Di은 i번째 시계열의 3시간 피로손상도, Qi(n)은 식 (14)와 같이 정의되는 번째 시계열 생성에 사용된 무작위 위상각 세트를 의미한다.
4. 변수 최적화 결과
4.1 최적화 방법
각 변수의 최적화를 위해서 2.3절에서 언급된 각 변수의 기준값을 증가 또는 감소시켜 경우를 세분화하였다. 시계열 생성 반복 횟수인 R은 최대 50번을 기준으로 정하고 최소 10번부터 시작하여 10번씩 증가시켜 총 5개의 값을 선정하였다. 주파수 증분 dω은 식 (4)에서 정의된 최댓값 0.000582rad/s를 기준값으로 정하고, 0.000146rad/s씩 감소시켜 총 4개를, 그리고 시간 증분 의 비율은 선행연구에서 제시한 비율인 0.08을 기준으로 0.01씩 증가시켜 총 4가지 경우를 고려하였다. 사용된 변수들은 Table 2에 정리하였다.
4.2 반복 횟수의 최적화
선정한 시계열 생성 반복 횟수 R의 기준값 50이 적절한 기준값인지 판단하기 위해, 스펙트럼마다 50번 반복하여 생성된 시계열의 통계적 특성치를 나타내는 값인 vp, ν 0 + ν 0 +
시계열 생성 반복 횟수의 최적값을 결정하기 위해, R은 50, 주파수 증분 dω와 시간 dt증분 비율의 값들은 가장 작은 값인 0.000144rad/s와 0.08로 계산한 피로손상도를 기준 피로손상도 Ds1으로 정의하였다. 그리고 시계열 생성 횟수를 50보다 작은 값인 10, 20, 30, 그리고 40의 총 4가지 값으로 변경하여 식 (13)으로 모든 스펙트럼의 피로손상도를 계산하였다. 각 반복 횟수로 계산된 피로손상도는 기준 피로손상도와 비교하였으며, S-N 선도의 기울기 변화에 따른 결과를 Fig. 4에 나타내었다.
Fig. 4의 세로축 값은 계산된 피로손상도 을 기준 피로손상도 DR로 나누어 준 값을 의미하며, 이 값이 1에 가깝다는 것은 계산된 피로손상도값이 기준 피로손상도와 일치하여 최적의 반복 횟수가 결정되었음을 의미한다. 또한, 시계열 생성 반복 횟수에 상관없이 S-N 선도의 기울기가 커지면 피로손상도의 편차가 커지기 때문에 통상적으로 m이 3일 때보다 5일 경우 오차의 편차가 크다. 그러므로 선정되는 시계열 생성 반복 횟수는 기울기 값이 5일 때도 기준 피로손상도와 일치도가 높아야 한다. 결과에서 볼 수 있듯이 시계열 생성 반복 횟수가 10과 20인 경우에는 S-N 선도의 기울기에 상관없이 상대적으로 오차가 크기 때문에 최적 반복 횟수로 선정하기에는 정확도가 떨어진다. 반면, 시계열 생성 반복 횟수가 30이상일 경우 오차범위 2% 이내로 기준값과 일치도가 높기 때문에 최적화 값의 범위이다. 하지만 높은 반복 횟수가 정확도를 높일 수 있으나 그만큼 추가로 계산 시간이 소요되기 때문에 정확도가 보장되면서도 시간이 상대적으로 적게 소요되는 30을 R의 최적값으로 선정하였다.
4.3 주파수 증분 및 시간 증분 비율의 최적화
주파수 증분 dω와 시간 증분 dt 비율의 최적값을 결정하기 위해서, 시계열 생성 반복 횟수 R은 최적화 값 30, 시간 증분의 비율은 0.08, 그리고 주파수 증분은 0.000144rad/s로 계산된 피로손상도를 기준피로손상도 Ds2로 정의하였다. 반복 횟수의 최적화 경우와 동일하게 S-N 선도의 기울기값 마다 주파수 증분을를 기준값 0.000144rad/s보다 큰 3가지 경우 0.000290rad/s, 0.000436rad/s, 그리고 0.000582rad/s로 변화시키면서 계산된 평균 피로손상도와 기준 피로손상도를 비교하여 Fig. 5에 나타내었다.
앞 절의 결과와 동일하게 Fig. 5에서 세로축의 값이 1에 가깝다는 것은, 각 주파수 증분에 따른 피로손상도값이 기준피로손상도 와 일치도가 높아 최적의 주파수 증분이 될 수가 있음을 의미한다. 그러나 결과에서 볼 수 있듯이, 주파수 증분의 크기 변화나 선도의 기울기에 상관없이 차이정도는 비슷하다. 즉, 주파수 증분의 크기 자체가 피로손상도에 오차를 높이는 요인이 아니기 때문에 식 (5)의 최대 범위를 만족하는 주파수 증분의 크기를 사용하면 될 것으로 판단된다. 다만, Fig. 5에서 보이는 데이터의 분산정도는 기준 피로손상도와 비교되는 주파수 증분에 따른 피로손상도들이 서로 다른 무작위 위상각 세트 Qi(n)을 가지고 있기 때문으로 판단된다. 이 현상은 본 연구의 모든 변수의 민감도테스트 결과에서 공통적으로 나타나고 있다.
시간 증분 dt비율은 기준값 0.08보다 큰 값인 0.09, 0.10, 그리고 0.11 3가지 값을 사용하여 계산된 피로손상도를 기준 피로손상도 Ds2와 비교하여 S-N 선도의 기울기에 따라 Fig. 6에 나타내었다.
변수의 최적값 판단은 시계열 반복 횟수와 주파수 증분 크기의 판단 방법과 같다. Fig. 6의 결과에서 볼 수 있듯이 주파수 증분의 경우와 같이 무작위 위상각 세트에 따른 편차는 모두 존재하지만, 시간 증분의 비율이 커질수록 즉, 시간 증분의 크기가 커질수록 기준 피로손상도에 비해 오차도가 높아졌다. 이와 같은 현상의 원인은 시간 증분의 값이 커지면 생성된 시계열의 피크값 손실이 발생하기 때문이며, 시계열의 시간이 늘어날수록 지속해서 피크값의 손실이 누적되기 때문이라고 사료된다. 이러한 경향성은 S-N 선도의 기울기 값에 상관없이 나타나고 있다. 고로 시간 증분 비율의 크기는 기존 선행연구에서 제안된 시간 증분 비율 0.08이 최적값이라 판단된다. 고로 시간 증분의 비율의 변화는 피로손상도의 정확도에 민감하기 때문에, 기준값 또는 기준값보다 더 작은 값을 사용해야 할 것으로 판단된다.
5. 검 증
제안된 방법을 검증하기 위해 실제 해양구조물의 한 종류인 계류라인의 장력 스펙트럼에 제안된 방법을 사용하여 피로손상해석을 수행하였다. 장력 스펙트럼은 구조물의 운동 특성으로 인해 저주파수 응답과 파랑 주파수 응답이 동시에 작용하여 스펙트럼의 형태가 광대역 이봉형 스펙트럼으로 나타난다. Fig. 7은 북해에 설치된 부유식 저장설비인 Sevan 1000 FSU의 계류선 장력 스펙트럼이다(Hanssen, 2013). 선행 연구에서 설계 조건을 참고하여 시간 영역 운동해석을 수행하였으며, 계류 시스템의 경우 14개의 다점 계류방식을, 시뮬레이션 환경 조건은 구조물의 100년 주기 파랑, 조류, 바람 조건을 적용하였다.
본 연구에서 제안하는 방법은 식 (13)과 같이 1 Block이 3시간으로 정의되는 반면, 기존의 연구에서는 1 Block을 60시간으로 정의하였다. 또한, 1 Block을 30번 생성하여 계산된 피로손상도들의 평균값을 대표피로손상도로 본 연구에서 제안했지만, 기존 연구에서는 1 Block을 10번 생성하여 계산된 피로손상도들의 평균값을 스펙트럼의 대표피로손상도로 정의하였다. 이를 종합하면 기존의 연구에서는 1개의 스펙트럼에 대해 3시간 동안의 시계열을 200번 생성하였고, 본 연구에서는 3시간 동안의 시계열을 30번 생성하여 대표피로손상도를 계산하였다. 결론적으로, 선행 연구에서 제안한 방법으로 계산된 피로손상도는 60시간에 대한 피로손상도를, 본 연구에서는 3시간에 대한 피로손상도를 계산하였다. 그러므로 본 연구에서 제안하는 방법과 기존의 방법을 비교 검증하기 위해서는 정의된 Block의 길이를 같게 해야 한다. 즉, 본 연구의 식 (13)에서 제안된 방법을 따른 계산 결과에 20배를 곱한 값을 기존의 방법과 비교하면 피로손상도의 계산 정확도 검증이 가능하다.
본 연구에서 제안한 반복 횟수인 30번 이외의 다른 반복 횟수의 결과도 포함하여 기준 피로도와 Table 3에 나타내었다. 이때, 사용된 주파수 증분은 0.0005rad/s, 시간 증분 비율은 0.08이다. 결과에서 확인할 수 있듯이, 계산시간을 줄었으며 생성 반복 횟수가 30 이상인 경우부터 기존 연구대비 오차율이 2% 내외가 됨을 알 수 있다.
6. 결 론
본 연구에서는 복합 동적 하중에 노출된 해양구조물의 피로손상도를 계산하기 위한 방법의 하나인 통계적 해석법에 사용되는 피로손상모델의 개발과정에 사용되는 스펙트럼의 피로손상도계산 과정을 최적화하였다.
응답스펙트럼으로부터 시계열 데이터를 산출하는 과정을 보다 합리적이고 효율성을 높이기 위해서 푸리에 역변환에 사용되는 변수들의 최적화 과정 및 방법을 제안하였다. 이를 위해서 실제 스펙트럼을 묘사한 곡선형 삼각뿔 형태의 이봉형 스펙트럼들을 정의한 후 주파수 증분, 시간 증분을 변경하며 시계열 데이터들을 생성하였으며, 생성된 시계열들은 각각 주파수영역과 시간영역에서의 기준 시계열 데이터와의 피로손상도 비교를 하였다. 비교 결과로부터, 주파수 증분과 시간 증분 비율은 기존의 제안된 값을 사용해도 계산되는 피로손상도는 큰 영향이 없으나, 반복 횟수 및 1 Block의 재정의를 통하여 피로손상도 계산 시간을 줄이는 방법을 제안하였다. 결과적으로 스펙트럼의 피로손상도의 정확성은 유지하되 기준 데이터의 산출 시간 대비 약 20배의 시간을 절약한 시계열 데이터를 산출할 수 있었다.
본 연구의 결과는 푸리에 역변환 과정과 레인플로우집계법을 사용한 피로손상도 계산 시 사용되는 주요 변수의 기준을 제시하고 관련 연구에서 사용될 수 있을 것으로 사료된다. 또한 해양구조물의 고주파수 응답에 기인하는 피로손상도 계산에 적합한 피로손상모델 개발 과정의 기초 연구로 활용될 것으로 사료된다.
PDF Links
PubReader
ePub Link
Full text via DOI
Download Citation
Print
