2.1 지배 방정식 및 입자상호작용 모델

비압축성 유체의 지배 방정식으로는 다음과 같은 연속방정식과 Navier-Stokes 방정식을 사용하였다.

여기서 ρ는 밀도, t는 시간, 는 속도벡터, ∇는 구배 연산자, P는 압력, v는 동점성계수, 는 외력을 각각 나타낸다.

연속방정식 (1)은 격자법에서는 통상적으로 속도의 발산(Divergence)으로 표현되는 반면, 입자법에서는 밀도에 관한 식으로 표현된다. Navier-Stokes 방정식 (2)의 좌변은 이류항을 포함한 라그란지의 전미분(Total derivative) 형태이고, 이는 입자의 직접적인 이동에 의해 계산된다. 한편, 우변은 압력 구배항, 점성항 그리고 외력항으로 구성되어 있다.

비압축성 점성 유동을 시뮬레이션하기 위해서 지배방정식의 편미분 연산자를 포함하는 모든 항은 MPS법(Koshizuka and Oka, 1996)의 상호작용 모델에 의해 치환되어야 한다. 본 연구에서는 원래의 MPS법(Koshizuka and Oka, 1996)을 개량하여 정확도와 안정성을 향상시킨 PNU-MPS법(Lee et al., 2011)의 입자간 상호작용 모델로 치환하기로 한다. 구배 모델은 Khayyer and Gotoh(2011)가 제안한 방법을 적용하였으며, PNU-MPS법에의 도입은 Jeong et al.(2013)에 상세히 서술되어 있다. 강체 운동 모델은 Koshizuka and Oka(1996)가 제안한 수동적 이동고체 모델(Passively moving-solid model)을 사용하였으며 모델의 타당성 검토는 Lee et al.(2013)에서 수행된 바 있다. 본 논문에서는 각각의 모델에 관한 상세한 설명은 생략하기로 한다. 단, 자유표면의 탐색 조건은 다음 절에 서술하는 “Arc법”을 도입하여 PNU-MPS법에 새롭게 적용하였다.

2.2 자유표면 탐색

자유표면 경계조건으로 운동학적 경계조건과 동역학적 경계조건이 있다. 본 연구에서 운동학적 경계조건은 자유표면 입자를 직접 이동하여 만족시키고, 동역학적 경계조건은 자유표면 입자의 압력을 대기압과 동일한 0의 값으로 고정함으로써 만족시킨다.

두 가지 경계조건을 만족시키기 위해서는 자유표면 입자의 탐색이 선행되어야 한다. PNU-MPS법(Lee et al., 2011)의 자유표면 입자의 탐색 기법은 격심한 자유표면 운동 시 자유표면 근처에서 다중으로 자유표면 입자가 탐색되어 부정확한 경계조건이 부여되기도 한다. 이에 본 연구에서는 원의 기학학적인 특징을 이용하여 Dilts(2000)가 제안한 “Arc”의 원리를 이용하여 자유표면 입자탐색에 적용하였다. 우선, Fig. 5와 같이 초기 입자간 거리 보다 큰 직경 R을 각 입자마다 설정한다. 이 때 입자 A의 경우 주변 입자들에 의해 원의 모든 호가 닫히게 되어 유체 내부 입자로 판단되는 반면, 입자 B의 경우 원호의 일부가 닫히지 않아 자유표면 입자로 판단된다. 본 논문에서 직경 R은 2.1l₀를 사용하였다.

Fig. 5

Schematic view for description of “Arc method”

Fig. 6은 0.4m×0.4m의 물덩어리(Water mass)가 0.3m 높이에서 자유낙하하는 과정을 시뮬레이션하기 위한 초기설정을 나타낸다. Fig. 7에서 볼 수 있듯이, t=0.28s에 물덩어리가 바닥면과 충돌하면서 PNU-MPS법의 경우 하부 양 끝단에서 자유표면 입자들이 겹쳐져 탐색되며, t=0.30s에서는 하부 양 끝단 뿐만이 아니라 상단 모서리 부근에서도 부정확하게 탐색이 되어 있다. 이에 반해 본 연구에서 새롭게 도입된 “Arc법”에 의해서는 전반적으로 자유표면 탐색에 있어 개선된 모습을 알 수 있다. 따라서, 본 연구에서는 PNU-MPS법에 새로운 자유표면 탐색기법인 “Arc법”을 적용하기로 한다.

Fig. 6

Initial set-up for water drop test

Fig. 7

Comparison of particle distribution for water drop test

3.1 경사면에서 지진해일의 파처오름 시뮬레이션

Fig. 8에 나타낸 바와 같이, 수심 h를 갖는 2차원 수치파랑수조 (Numerical wave tank)에서 수치조파기에 의해 지진해일에 상응하는 고립파(Solitary wave)를 재현하고 조파기로부터 L만큼 떨어진 그 반대편에 θ의 경사를 갖는 경사면에서의 최대 파처오름 (Maximum wave run-up)인 R를 계측하여 Synolakis (1987)의 이론값 및 Hall and Watts(1953)의 실험결과와 비교하였다.

Fig. 8

Initial setup for simulation

고립파는 수조의 오른쪽 벽면에 설치된 피스톤(Piston) 형의 조파기로부터 생성되며, H는 고립파의 최대 진폭, 그리고 S는 조파기의 수평방향 이동변위(Stroke)를 각각 나타낸다. 이때, 고립파 생성을 위한 수치 조파기의 시간 궤적은 다음과 같다.

여기서 X₀는 조파기의 수평 변위, , , 그리고 g는 중력 가속도 이다.

위의 식 (15)에 Newton’s Rule(Hughes, 1993)을 적용하면 식 (16)으로 표현되며,

위 식을 시간에 대한 이산화를 적용하면 아래의 식과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 조파기의 수평방향 이동변위는 다음과 같이 주어진다.

먼저, 입자 크기에 대한 수렴성을 살펴보기 위해 Table 1과 같이 길이(L)은 1.5m, 수심(h)는 0.1m, 높이(Z)는 0.3m, 우측 경사면의 기울기(θ)가 90°일 때, 입사파의 수심에 대한 파고비(H/h)를 0.6까지 0.1 간격으로 시뮬레이션을 수행하고 이 때 계산된 파처오름의 최대높이를 Hall and Watts(1953)의 실험값과 비교하였다. 이 때 초기 입자간 간격 l₀은 0.01m, 0.005m, 0.0025m, 0.00125m의 4가지 경우에 대하여 입자수 1,500, 6,000, 24,000, 96,000개씩을 각각 사용하였다. 한편, 수치조파기 및 경사면을 포함한 바닥면은 점착조건(No-slip 조건)을 적용하였다.

Table 1

Condition of simulation for convergence tests

Fig. 9는 우측 경사면에서 입사파에 의해 발생한 파처오름의 최대 높이를 수심으로 무차원화 하여 나타낸 수렴도 검사 결과를 나타낸다. 파고비가 아주 작은 경우에는 입자간 간격에 크게 영향을 받지 않아 보이지만 파고비가 커지면 입자간 간격이 작아질수록 수렴하는 모습을 보인다. 이때 대부분의 경우 초기 입자간격이 l₀=0.0025m일 때 수렴하는 것을 알 수 있다. Fig. 10은 수렴한 최적의 입자간 간격을 이용한 결과를 실험과 비교하여 나타내었다. 전체적으로 실험결과와 경향과 크기가 잘 일치하는 것을 확인 할 수 있다.

Fig. 9

Convergence tests for maximum run-up of solitary wave in case of θ=90°

Fig. 10

Comparison of maximum run-up of solitary wave with different amplitudes for θ=90°

다음으로, 수렴한 입자간격인 0.0025m를 사용하여 우측 경사면의 기울기 θ가 45°일 때 다양한 입사파의 파고비(H/h)에 대한 시뮬레이션을 수행하였다. Fig. 11은 본 연구의 시뮬레이션의 결과를 Hall and Watts(1953)의 실험, Kim et al.(1983)의 BIEM(Boundary integral equation method) 계산, 그리고 Synolakis(1987)의 Run-up law의 이론 결과들과 비교하여 나타낸다. 단, Run-up law는 다음 식으로 표현된다.

Fig. 11

Comparison of maximum run-up of solitary wave with different amplitudes for θ=45°

BIEM의 경우 파고비가 높아지면서 실험에 비해 과도한 예측을 하는 경향이 있고, 단순한 이론식인 Run-up law의 경우 실험과 다소 차이는 보이지만 실험과 경향이 비교적 일치하는 것을 알 수 있다. 반면, 본 시뮬레이션 결과는 실험과 정량적으로 잘 일치하고 있다.

3.2 지진해일 중 해안안벽 주변 부유체 거동에 관한 시뮬레이션

전 절에서는 2차원 수치파랑 수조에서의 지진해일의 생성 기술에 관하여 실험, 이론식, 타 수치계산 결과와의 비교를 통해 그 타당성을 검증하였다. 본 절에서는 지진해일의 전파에 따라 안벽 주변에 위치하는 부유체의 거동에 관한 시뮬레이션을 수행하였다.

Fig. 12는 해안안벽 주변에 부유체를 포함하는 수치파랑수조의 초기 설정을 나타낸다. 지진해일에 상응하는 고립파는 전 절에서 사용한 조파식을 사용하여 생성하였다. 수조의 수심(h)은 0.67m이고 조파기로부터 길이(L) 10m만큼 떨어진 연안역에는 1:3의 경사를 갖는 해안안벽이 설치되어 있다. 한편, 부유체는 Table 2와 같이 폭(B) 0.23m, 깊이(D) 0.1m의 직사각형이며, 부유체의 중량에 의한 차이를 살펴보기 위하여 흘수(d)는 0.02~0.05m의 4가지 경우에 대하여 시뮬레이션을 수행하였다. 이 때, 물체표면에는 점착조건(No-slip 조건)을 적용하였다. 사용한 초기 입자간 간격(l₀)은 0.01m, 0.005m, 0.0025m의 세 종류에 관한 수렴도 테스트를 통해 최종적으로 선정하였다. 또한, 고립파의 목적 파고 (H)는 0.065m로 가정하였다. Table 2에는 본 시뮬레이션에 사용된 각 파라미터의 상세한 수치가 주어져 있다.

Fig. 12

Initial setup including floating structure near quaywall

Table 2

Dimension of parameters for simulation

먼저, 고립파로 인해 안벽을 타고 올라간 최대 파고를 계측하기 위해 부유체가 없는 상태로 Fig. 12에 나타낸 바와 같이 안벽이 시작되는 지점(x = 0.0)으로부터 0.05m간격으로 4개의 파고계(H1~H4)를 설치하였다. Fig. 13에는 각 계측지점에서 안벽의 높이로부터 처오른 최대 파고를 나타낸다. 전체적으로 안벽위로 처오른 파고는 왼쪽으로 전파되면서 파고가 급격히 줄어 드는 것을 알 수 있다. 한편, 입자간 간격에 따른 수렴성 결과 H1과 H2 지점에서는 큰 차이를 보이지 않지만, H3 이후부터는 입자간 간격에 따라 수렴하는 양상을 보인다. 따라서 이후의 시뮬레이션에서는 계산의 부하를 고려하여 l₀ =0.005m를 이용하여 시뮬레이션 하였다.

Fig. 13

Maximum wave elevation measured from H1 to H4

다음으로 서로 다른 중량을 갖는 부유체의 거동에 관한 시뮬레이션을 수행하였다. Figs. 14~16는 부유체의 무게중심(Center of gravity)이 수평방향과 연직방향으로 각각 움직인 거리의 시간 변화를 나타낸다. 동일한 시각에 가벼운(흘수가 작은) 물체일수록 연직방향으로의 이동이 적고 수평방향으로의 이동이 많아지는 것을 알 수 있다. 이는 부유체가 고립파에 실려 안벽 위로 넘어 갈 때 중량이 가벼운 경우 상대적으로 연직방향으로 이동하기 전에 수평방향으로 먼저 밀려 이동을 하지만, 무거운 경우 상대적으로 수평방향으로 덜 밀리며 연직방향으로 상승하는 거리가 커지기 때문으로 판단된다. Fig. 17는 흘수가 0.025m일때 지진해일 중 해안안벽 주변 부유체의 시간에 따른 거동을 Masuda et al.(2009)의 실험결과와 비교하여 나타낸다. 본 시뮬레이션에서 얻어진 부유체의 거동 및 파형상은 실험과 비교하여 경향이 매우 유사한 것을 알 수 있다. 단, 실험에서는 고립파 생성에 관한 조파 조건이 명확히 주어지지 않아 정확한 비교는 어려운 실정이며, 추후 동일한 조건에서의 비교가 필요할 것으로 보인다.

Fig. 14

Horizontal displacements of floating body

Fig. 16

Vertical & Horizontal displacements of floating body

Fig. 17

Time-sequential behaviors of floating body (left: present, right: experiment (Masuda et al., 2009)

Fig. 15

Vertical displacements of floating body