기호
Ai : 비인장 상태 요소 케이블 i의 단면적
à : 인장 상태 케이블의 단면적
Ei : 요소 케이블 i의 영률
L : 비인장 상태 복합 케이블의 총길이
Li : 비인장 상태 요소 케이블 i의 길이
li : 비인장 상태 요소 케이블 i의 무차원화된 길이
mi : 비인장 상태 요소 케이블 i의 단위길이 당 질량
s: 비인장 상태 케이블의 원호길이
: 인장 상태 케이블의 원호길이
T : 케이블 장력
W : 복합 케이블의 총 자중
: 변형에 의한 케이블 단면적 비
βi : 요소 케이블 i의 Flexibility factor
θ : 케이블 접선각
νi : 요소 케이블 i의 포와송비
(𝜉, η , ζ) : 무차원화된 케이블 형상 좌표값
ρi : 요소 케이블 i의 무차원화된 단위길이 당 자중
𝜎 : 비인장 상태 케이블의 무차원화된 원호길이
: 인장 상태 케이블의 무차원화된 원호길이
τ : 무차원화된 케이블 장력
φi- 1 : 요소 케이블 i의 평면 투영선과 x축과의 사이각
1. 서 론
케이블 구조물은 장력만으로 하중을 지탱하는 케이블을 이용한 구조물로 건축, 토목, 조선해양 분야에 널리 사용되는 구조물 형식 중 하나이다(
Irvine, 1981;
Samset, 1985;
Berteaux, 1976). 케이블 구조물은 설치 및 제거가 쉽고 강체구조물보다 비용이 저렴하다는 장점을 가진다. 그러나 케이블의 유연성으로 인해 하중에 대한 변위가 상대적으로 크고, 압축력에 저항 할 수 없으며, 허용 하중이 일반적인 강체구조물 보다 작다는 단점이 있다.
이러한 케이블 구조물의 해석을 위해서는 케이블 자중을 포함한 하중에 따른 형상해석이 필요하며, 케이블의 장력과 형상은 이 두 물리량의 상호작용에 의해 결정되는 비선형성이 강한 구조물이다. 케이블 자중에 의한 장력 및 형상은 현수선방정식으로 표현되며
Irvine(1981)과
Berteaux(1976) 등의 서적에 상세히 설명되어있다.
본 연구에서는 상이한 물성을 갖는 요소 케이블들로 구성된 하나의 양단 고정 복합 케이블(Multi-component cable)에 3차원 정적 집중하중들이 작용하는 경우에 대하여 해석하였다. 케이블의 형상, 장력, 인장변형 그리고 단면의 수축변형에 대한 해들을 해석적으로 표현하였다. 그리고 몇 가지의 경우에 대한 적용 예를 수록하였다.
2. 문제의 가정 및 요소 케이블의 해
하나의 복합 케이블은 물성이 다른 n+1개의 요소 케이블들로 연결 구성되었으며 각 요소 케이블들 간의 접합점인 n개의 절점에 3차원 집중하중이 작용한다고 가정한다. 그리고 절점 i=0과 i=n+1은 복합 케이블의 양 끝단으로 고정되어 있다고 가정 한다.
먼저
Fig. 1과 같이 절점
i-1과 절점
i사이의 요소 케이블 i에 대해 살펴보면, 힘의 평형 방정식은 식 (1)이며 인장변형 방정식은 식 (2)로 표현된다. 그림에서 양의
z 축 방향은 연직상방이다.
여기서
s 는 비인장 상태의 케이블 원호길이이고,
T 는 케이블 장력,
θ 는 케이블 접선과 수평면이 이루는 각도,
mi ,
Ei 그리고
Ai 는 각각 비인장 상태 요소 케이블 i의 단위 길이 당 질량, 영률(Young's modulus) 그리고 단면적이다.
는 인장 변형이 일어난 상태에서의 케이블 원호길이이다. 그림에서
φi- 1는 케이블 형상을 수평면인
x -
y 평면에 투영한 직선과 양의
x축과의 사이 각이다.
한편 장력에 의한 케이블 i의 수축된 단면적 Ã 는 식 (3)과 같다.
여기서 νi는 포와송비(Poisson's ratio)이다.
Fig. 1
Catenary cable element
해석의 편의를 위해 다음과 같은 무차원화 된 값들을 도입한다.
여기서 L 과 W는 각각 비인장 상태 복합 케이블의 총 길이와 총 자중이며 L i 는 요소 케이블 i의 길이이다.
이러한 무차원화 된 값들을 사용하여 식 (1)과 (2)를 다시 표현하면 다음과 같다.
기하학적 적합조건은 다음 식으로 표현 된다.
식 (6)-(8)의 해는 잘 알려진 탄성 요소 케이블 i에 대한 현수선 방정식으로 다음 식들로 표현된다.
이 식들에서 밑 첨자와 윗 첨자가 함께 사용된
와
는 각각 요소 케이블 i의 시작점인 절점
σ =
σi - 1에서의
τ와
θ 값 이다. 앞서 언급했듯이 위의 해들은 요소 케이블 i에 대해서 적용해야 하므로
σ의 범위는
σi - 1 ≤
σ ≤
σi이고 i=1~n+1 이다.
식 (3)의 단면적비
는 다음 식과 같다.
식 (9)-(13)로 표현된 해들에서 Flexibility factor인 βi가 0인 경우는 비인장성 케이블(Inextensible cable)에 대한 해이다.
3. 절점에서의 접합조건
절점 i에 복합 케이블 총 자중 W로 무차원화 된 3차원 정적 하중 ψ𝜉 i , ψη i , ψζi 가 작용하면, 요소 케이블 i와 i+1의 장력들 과의 힘의 평형에 따라 다음과 같은 방정식을 얻게 된다.
여기서 i=1~n 이며, 좌변의 아래 위 첨자 항들은 요소 케이블 i+1의 시작점에서의 값들이고 우변의 아래 위 첨자 항들은 요소 케이블 i의 끝점에서의 값들이다. 식 (14)-(16)은 집중하중에 의한 절점에서의 장력 τ, θ , 그리고 φ의 불연속성을 나타낸다. 식 (6)의 해인
의 관계식들과 식 (14)-(16)을 결합하면 임의 절점 및 복합 케이블 끝점에서의 장력 τ, θ , φ 값을 시작점에서의 값들로 표현할 수 있다.
위의 식들에서 i=1~n 이고, 특히
은 복합 케이블 끝점에서의 값들을 의미한다. 그리고 시작점으로 부터 첫 번째 요소 케이블에서는 다음의 관계식을 가진다.
식 (19)-(24)를 사용하면 절점 i에서의
τi± ,
θi± ,
φi의 값들과 복합 케이블 끝점인 i=n+1의
의 값들을 시작점에서의 값들인
로 표현할 수 있다.
한편 절점에서 형상의 연속성을 사용하면 다음과 같은 식들 을 얻을 수 있다.
여기서
i=1~n+1 이며,
과
은 식 (9)와 (10)으로부터 구할 수 있고 이 역시
로 표현된다.
4. 형상 및 물리량들의 결정
복합 케이블의 양 끝단의 위치가 주어져 있으므로
𝜉n +1 −
𝜉0,
ηn +1 −
η0 ,
ζn +1 −
ζ0는 기지의 값들이며, 이 값들을 식 (25)-(27) 에 대입하면
로 표현되는 세 개의 식을 얻게 된다. 따라서 3개의 연립 비선형 대수방정식의 해로서
를 구할 수 있다. 본 연구에서는 연립 비선형 대수방정식의 수치해 법 중 하나인 Broyden 방법을 사용하였다(
Press et al., 1992).
세 개의 미지 값 (
)이 결정되면 식 (19)-(24)에 의해 모든 절점에서의
τi± ,
θi± ,
φi이 결정되며, 요소 케이블 형상의 해석적 해인 식 (9)와 (10)을 사용하면 복합 케이블 전체에 대한 형상이
σ의 함수로 표현된다.
여기서 i=1~n+1 이며, 식들의 우변 마지막 항 값들은 식 (25)-(27)을 사용하여 구할 수 있다. 인장된 케이블의 길이 또한 절점에서의 연속성을 고려하면 이와 유사하게 결정할 수 있다.
장력
τ는 식 (11)로 표현되며, 이로 부터 단면적비
도 식 (13)으로 결정된다.
5. 적용 예
해석법의 유효성을 검증하기 위해
Irvine and Sincliar(1976)에 나와 있는 2차원 문제에 대한 실험치와 비교하였다. 상기 문헌 에는 균일한 탄성 케이블의 한 지점에 수직 집중하중을 가했을 때의 실험결과가 나와 있는데, 집중하중 작용지점은
σ1 = 0.275 이고 케이블의 Flexiblity factor
β는 3.16⨉10-4이다. 그리고 집중하중은
ψζ1 = 0.0, 0.196, 0.392 의 3가지 경우로 하였고 케이 블 양 끝단 좌표값은
𝜉2 −
𝜉0 = 0.8333,
ζ2 −
ζ0 =0.0 이다. 집중 하중 작용점의 수평 및 수직방향 좌표값(
𝜉1 −
𝜉0,
ζ1 −
ζ0)을
Table 1에 정리하였다. 표에서 보듯이 실험치와 본 해석법에 의한 결과치가 잘 일치하여 본 해석법이 유효함을 알 수 있다.
Table 1
Comparison between the results of experiment and present study
Table 2의 제원을 가지는 복합 케이블에 집중하중이 작용하 지 않을 때의 2차원 문제에 대하여 해석을 수행하였다. 표에서 보듯이 4가지 경우 모두 3개의 요소 케이블로 구성되어 있는데, 각 요소 케이블의 길이는 전체 길이의 1/3로 모두 동일하다. CASE 1의 중앙부분 요소 케이블(
i=2)은 양쪽 끝단 요소 케이블 (
i=1,3)에 비해 중량이 절반이고
β값은 두 배이다. CASE 2는 실질적으로 균일한 케이블로서
β는 CASE 1 재질의 등가 균일값인 0.06으로 가정하였다. 인장성 케이블에 대한 본 연구의 적용성을 살펴보기 위해 사용된
β값들은 통상적인 값보다 상당히 큰 값이다. CASE 3과 4는 각각 CASE 1과 2를 비인장성 재질로 가정한 것이다. CASE 1~4 모두
𝜉3 −
𝜉0 = 0.8333,
ζ3 −
ζ0 = 0.5의 조건을 부과하였다.
Table 2
Specific values of multi-component cable cases 1~4
Fig. 2에 복합 케이블들의 형상을 도시하였다. 불균일한 케이블인 CASE 1 및 3과 균일한 케이블인 CASE 2 및 4를 비교해 보면 무거운 요소 케이블 부분이 더 처지고 가벼운 부분은 덜처짐을 알 수 있다. 주어진
β값들에 대해 CASE 1과 2 모두 전체길이의 약 4.18%가 인장되는 것으로 계산되었다.
Fig. 2
Shapes of multi-component cables w/o concentrated forces.
집중하중에 의한 영향을 살펴보기 위해 CASE 1~4의 절점들에 복합 케이블 자중의 20%에 해당하는 수직 상방 하중
ψζ1=
ψζ2 = 0.2 를 부과하여 각각 CASE 5~8로 설정하였다.
Fig. 3의 결과를 보면 절점에서 집중하중에 의해 형상이 꺾임을 확인 할 수 있다. CASE 5와 6에서 인장률은 각각 2.35%와 2.40%이다.
Fig. 4에 장력의 분포를 도시하였는데 집중 하중에 의한 장력의 불연속 현상을 볼 수 있다. 또한 비인장 경우인 CASE 7과 8에 비해 인장변형을 고려한 CASE 5와 6의 장력이 작음을 알 수 있다. 단면적비
의 결과는
Fig. 5에 수록하였다.
Fig. 3
Shapes of multi-component cables under the concentrated vertical forces
Fig. 4
Tensions of multi-component cables under the concentrated vertical forces
Fig. 5
Cross-sectional area ratios under the concentrated vertical forces
3차원 집중하중에 대한 해석 예로써
Table 2의 CASE 1에
와
이 작용하였을 때의 3차원 형상을
Fig. 6에 도시하였다. 이때 양 끝단 조건은
𝜉3 −
𝜉0 = 0.8333,
η3 −
η0 = 0.0,
ζ3 −
ζ0 = 0.5이다. 그림에서 보듯이 3차원 공간의 두 절점에서 꺾인 형상을 볼 수 있으며, 인장률은 4.97% 이다.
Fig. 7에는 장력을 도시하였다.
Fig. 6
Shape of the multi-component cable under the 3-D concentrated forces
Fig. 7
Tension of the multi-component cable under the 3-D concentrated forces
6. 결 론
물성이 다른 요소 케이블들로 구성된 복합 케이블에 3차원 정적 집중하중이 작용하였을 때의 해석법을 개발하였다. 인장 변형을 고려한 요소 케이블에 대한 해석적 해 들을 바탕으로 절점 작용하중과 장력과의 힘의 평형조건을 사용하여 복합 케이블의 해석적 해를 케이블 시작점에서의 세 개의 미지 값으로 표현하였다. 이러한 미지 값들은 경계조건인 복합 케이블 양 끝단 위치조건에 의해 결정된다. 이 값들을 사용하면 복합 케이블의 형상, 장력 분포, 인장 변형, 케이블 단면적 변형비 등을 해석적으로 구할 수 있다.
해석 예로써 2차원 평면에서 수직방향 집중하중이 작용하는 경우에 대하여 해석 하였고 균일 케이블에 대한 결과와 비교하였다. 그리고 3차원 집중하중에 대한 해석 예도 제시하였다.
본 연구결과를 수중 복합 케이블에 적용하기 위해서는 케이블들의 자중을 수중 부력을 고려한 수중에서의 자중으로 대치 하면 되며, 이 때 구해지는 장력은 유효 장력(Effective tension)으로 해석하면 된다.